映射

定义

设 \(X,Y\) 是两个非空集合，如果存在一个法则 \(f\)，使得对 \(X\) 中每个元素 \(x\)，按法则 \(f\)，在 \(Y\) 中有唯一确定的元素 \(y\) 与之对应，那么称 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射，记作：

\[f:X\to Y

\]

其中 \(y\) 称为元素 \(x\) （在映射 \(f\) 下）的像，并记作 \(f(x)\)，即：

\[y = f(x)

\]

而元素 \(x\) 称为元素 \(y\) （在映射 \(f\) 下）的一个原像；集合 \(X\) 称为映射 \(f\) 的定义域，记作 \(D_{f}\)，即 \(D_{f} = X\)，\(X\) 中所有元素的像所组成的集合称为映射 \(f\) 的值域，记作 \(R_{f}\) 或 \(f(X)\)，即：

\[R_{f} = f(X)=\{f(x)|x\in X\}

\]

注意：

三要素：\(X,f,R_{f}\)。

\(R_{f}\subset Y\)，\(R_{f}\) 不一定与 \(Y\) 相等，也就是说 \(Y\) 中的元素不一定有 \(X\) 中的元素与之对应，但 \(X\) 中的元素在 \(Y\) 中一定有元素与之对应。

对于 \(x\in X\)，其对应的 \(y\) 是唯一的，即一个 \(x\) 只能对应一个 \(y\)，而两个 \(x\) 可以对应同一个 \(y\)。

特殊映射

满射：

当 \(R_{f}=Y\)，此时的 \(f\) 称为满射。

单射：

当每一个 \(y\) 只有一个 \(x\) 与之对应（一一对应），\(x_{1}\ne x_{2},f(x_{1})\ne f(x_{2})\)，此时 \(f\) 称为单射。

一一映射：

既是单射又是满射的映射，此时 \(X,Y\) 中的元素数量相等。

逆映射：设 \(f:X\to Y\) 为单射，对于每个 \(y\in R_{f}\)（不一定是满射故不是 \(Y\)），都有唯一的 \(x\in X\) 满足 \(f(x) = y\)，我们可以定义一个新的映射 \(g\)，即：

\[g:R_{f}\to X

\]

这个映射 \(g\) 称之为 \(f\) 的逆映射，记作 \(f^{-1}\)，其定义域为 \(D_{f^{-1}}=R_{f}\)，值域 \(R_{f^{-1}}= X\)。

只有单射才有逆映射。

复合映射：

设 \(g:X\to Y_{1},f:Y_{2}\to Z\) 并且 \(Y_{1}\subset Y_{2},x\in X\)，每个 \(x\) 能通过 \(g\) 再通过 \(f\) 得到 \(Y_{2}\) 里的元素，即 \(f[g(x)]\in Z\)，这个映射称为 \(g\) 和 \(f\) 构成的复合映射，记作：\(f\circ g\)，即：

\[f\circ g:X\to Z,(f\circ g)(x)=f[g(x)],x\in X

\]

此时 \(g\) 的值域必须包含在 \(f\) 的定义域内： $ R_{g}\subset D_{f}$。

复合映射是有顺序的， \(f\circ g\) 有意义不代表 \(g\circ f\) 有意义。

即使两个复合映射都有意义，两个复合映射也未必相同。